如图，已知等腰梯形ABCQ，AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中点，∠BCQ=60°，将△QDA沿AD折起，点Q变为点P，使平面PAD⊥平面ABC

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，已知等腰梯形ABCQ，AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中点，∠BCQ=60°，将△QDA沿AD折起，点Q变为点P，使平面PAD⊥平面ABCD。
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）求证：△PBC是直角三角形；
（3）求三棱锥P-BCD的体积。

答案

（1）证明：∵AB∥CQ，D是CQ的中点，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
又∵平面PAD，AD平面PAD，
∴BC∥平面PAD. （2）证明：∵∠BCQ=60°，AB=BC，
∴ABCD是菱形，∴△PDA，△BDA均为等边三角形，
取AD中点E，连PE，BE，
∴，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥BC，
又∵BC∥AD，
∴BC⊥BE，
又∵PE∩BE=E，
∴BC⊥平面PEB，
∴BC⊥PB，∴△PBC是直角三角形。

（3）解：∵，
∴，
∴三棱锥P-BCD的体积为1.