空间不共面的四点A、B、C、D依次到平面α的距离之比是2：2：2：3，则满足条件的平面α的个数为______个．
题型：不详难度：来源：
| 空间不共面的四点A、B、C、D依次到平面α的距离之比是2：2：2：3，则满足条件的平面α的个数为______个． |
答案
因为空间四点不共面，所以四点构成一个三棱锥，
当三棱锥的四个顶点均在平面α的同侧时，α只有一个；
当三棱锥的四个顶点分别处在平面α的两侧时，由两种情况：
①当平面α一侧有一点，另一侧有三点时，使截面与三棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离之比为2：3，这样的平面α有4个；
②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，
举例说明：A、B与C、D分别在平面α的两侧时，取CA、CB的中点P、Q，在DA、DB上取点S、R，使==，则确定平面PQRS就是α，
则满足条件的平面共有3个．
所以由以上可得满足条件的平面共有8个．
故答案为8． |
举一反三
若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出的下面四个命题中正确的是（ ）| A．α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β | B．α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β | | C．l∥α，α⊥β⇒l⊥β | D．α⊥γ，β⊥r⇒α∥β |
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设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是______（填序号）
①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面． |
设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；
③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β；
④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是______． |
已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正确命题的序号是（ ） |
下列命题中，假命题是（ ）| A．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β | | B．若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥β | | C．若α⊥β，任取直线l⊂α，必有l⊥β | | D．若α∥β，任取直线l⊂α，必有l∥β |
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