如图,在四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4.(Ⅰ)求证:BD⊥P
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如图,在四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4.(Ⅰ)求证:BD⊥P
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如图,在四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB
∥
CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4.
(Ⅰ)求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)求二面角B-PC-A的余弦值.
答案
证明:(Ⅰ)以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则B(0,1,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4),
∴
PC
=(-2,4,-4)
,
BD
=(-2,-1,0)
,
∴
PC
•
BD
=0
所以PC⊥BD.
(Ⅱ)易证
BD
为面PAC的法向量,
设面PBC的法向量n=(a,b,c),
PB
=(0,1,-4),
BC
=(-2,3,0)
所以
n
•
PB
=0
n
•
BC
=0
⇒
b=4c
a=6c
所以面PBC的法向量n=(6,4,1),
∴cosθ=-
16
265
.
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角,
所以二面角B-PC-A的余弦值为
16
265
.
举一反三
在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是( )
A.平面ABD⊥平面BDC
B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC
D.平面ABC⊥平面BED
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已知直线m、n,平面α、β,给出下列命题:
①若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;
②若m
∥
α,n
∥
β,且m
∥
n,则α
∥
β;
③若m⊥α,n
∥
β,且m⊥n,则α⊥β;
④若m⊥α,n
∥
β,且m
∥
n,则α
∥
β.
其中正确的命题是( )
A..①③
B.②④
C.③④
D.①
题型:不详
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互不重合的三个平面最多可以把空间分成( )个部分.
A.4
B.5
C.7
D.8
题型:不详
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已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β,有下列命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n
∥
α;
②若m⊥α,n⊥β,m
∥
n,则α
∥
β;
③若m、n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m
∥
β,n
∥
α,则α
∥
β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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若三个平面两两相交,则它们的交线条数是( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.1条或3条
题型:不详
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