已知矩形ABCD中AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是______．

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答案

以A点为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴，如图所示．
设P（0，0，b），D（0，a，0），E（3，x，0）

PE=（3，x，-b），DE=（3，x-a，0）
∵PE⊥DE，∴PE•DE=0，
∴9+x（x-a）=0，即x²-ax+9=0．
由题意可知方程有两个不同根，
∵△＞0，即a²-4×9＞0，∴a＞6．
故答案为a＞6

举一反三

（y的的7•海南）如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=9的°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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已知直线l⊥平面α，有以下几个判断：
①若m⊥l，则m∥α，
②若m⊥α，则m∥l
③若m∥α，则m⊥l，
④若m∥l，则m⊥α，
上述判断中正确的是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②④

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如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V₁，四棱锥P-BDEF体积为V₂．求当PB取得最小值时的V₁：V₂值．

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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M分别是BB₁，CC₁与AB的中点，
（1）求证：AE∥平面A₁DF；
（2）求证：A₁M⊥平面AED；
（3）正方体棱长为2，求三棱锥A₁-DEF的体积．

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如图，正方体AC₁的棱长为1，连接AC₁，交平面A₁BD于H，则以下命题中，错误的命题是（　　）

A．AC₁⊥平面A₁BD

B．H是△A₁BD的垂心

C．AH=

D．直线AH和BB₁所成角为45°

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