如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是BB1,CC1与AB的中点,(1)求证:AE∥平面A1DF;(2)求证:A1M⊥平面AED;(3)正

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是BB1,CC1与AB的中点,(1)求证:AE∥平面A1DF;(2)求证:A1M⊥平面AED;(3)正

题型:不详难度:来源:
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是BB1,CC1与AB的中点,
(1)求证:AE平面A1DF;
(2)求证:A1M⊥平面AED;
(3)正方体棱长为2,求三棱锥A1-DEF的体积.
答案
证明:(1)∵E,F分别是BB1,CC1的中点
∴EFBC,EF=BC
又∵ADBC,AD=BC
∴EFAD,EF=AD
∴四边形AEFD为平行四DF边形,
∴AEDF
∵AE⊄平面A1DF,DF⊂平面A1DF
∴AE平面A1DF
(2)由正方体的几何特征可得AD⊥平面ABB1A1
又∵A1M⊂平面ABB1A1
∴AD⊥A1M
在正方形ABB1A1中,E,M分别是BB1与AB的中点,
∴△AA1M≌△BAE
∴∠BAE=∠AA1M
∵∠BAE+∠AA1O=90°
∴AA1M+AA1O=90°
∴A1M⊥AE
∵AD∩AE=A,AD,AE⊂平面AED
∴A1M⊥平面AED;
(3)∵正方体棱长为2,
∴三棱锥A1-DEF的体积
VA1-DEF=VA1-ADE=VD-A1AE=
1
3
SA1AE•AD=
1
3
1
2
•2•2•2=
4
3

举一反三
如图,正方体AC1的棱长为1,连接AC1,交平面A1BD于H,则以下命题中,错误的命题是(  )
A.AC1⊥平面A1BD
B.H是△A1BD的垂心
C.AH=


3
3
D.直线AH和BB1所成角为45°

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如图:三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC=BC=
1
2
AA1=2,∠ACB=90°,D为AB的中点,E点在BB1上且DE=


6

(1)求证:AB1平面DEC.
(2)求证:A1E⊥平面DEC.
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直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中,AB⊥AC,AB=AC=a,D为CC1的中点,
CC1
AC

(1)λ为何值时,A1D⊥平面ABD;
(2)当A1D⊥平面ABD时,求C1到平面ABD的距离;
(3)当二面角A-BD-C为60°时,求λ的值.
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如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的结论是______.(把你认为正确的结论都填上)
①BD平面CB1D1
②AC1⊥平面CB1D1
③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条.
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在正方体ABCD-A1B1C1D1
(1)求证:AC⊥BD1
(2)求异面直线AC与BC1所成角的大小.
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