直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中,AB⊥AC,AB=AC=a,D为CC1的中点,CC1AC=λ(1)λ为何值时,A1D⊥平面ABD;(2)当A1D⊥平面AB

直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中,AB⊥AC,AB=AC=a,D为CC1的中点,CC1AC=λ(1)λ为何值时,A1D⊥平面ABD;(2)当A1D⊥平面AB

题型:不详难度:来源:
直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中,AB⊥AC,AB=AC=a,D为CC1的中点,
CC1
AC

(1)λ为何值时,A1D⊥平面ABD;
(2)当A1D⊥平面ABD时,求C1到平面ABD的距离;
(3)当二面角A-BD-C为60°时,求λ的值.
答案


AB


AC


AA1
为正交基底建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),C1(0,a,λa),D(0,a,
1
2
λa),A1
(0,0,λa)
(1)


A1D
=(0,a,-
λa
2
),


AD
=(0,a,
λa
2
)

∵A1D⊥平面ABD∴A1D⊥AD
∴0+a2-
λ2a2
4
=0有λ=2
(2)λ=2时,


C1D
=(0,0,-a),


A1D
=(0,a,-a)
C1到平面ABD的距离d=|


C1D


A1D
|


A1D
|
|=


2
2
a
(3)取BC中点E,连接AE,则AE⊥BC,又BB1⊥AE∴AE⊥平面BCD


AE
=(
a
2
a
2
,0),设


m
=(x,y,z)为平面ABD的一个法向量



m


AB
=0


m


AD
=0
x=0
y=-
λz
2

取z=1得


m
=(0,-
λ
2
,1),由cos60°=|


m


AE
|


m
|•|


AE
|
|得λ=2
举一反三
如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的结论是______.(把你认为正确的结论都填上)
①BD平面CB1D1
②AC1⊥平面CB1D1
③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条.
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在正方体ABCD-A1B1C1D1
(1)求证:AC⊥BD1
(2)求异面直线AC与BC1所成角的大小.
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△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,则图中直角三角形的个数为______.
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如图,在多面体ABCDE中,AE⊥平面ABC,BDAE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F在CD上(不含C,D两点)
(1)求多面体ABCDE的体积;
(2)若F为CD中点,求证:EF⊥面BCD;
(3)当
DF
FC
的值为多少时,能使AC平面EFB,并给出证明.
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