如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点.求证:(1)PA∥平面BDE;(2)AC⊥平面P
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点.求证: (1)PA∥平面BDE; (2)AC⊥平面PBD.
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答案
证明:(1)设AC∩BD=H.连接EH, ∵AD=CD,DB平分∠ADC, ∴AH=HC. 又∵E为PC的中点, ∴EH∥PA. 又∵PA⊄平面BDE,EH⊂平面BDE, ∴PA∥平面BDE; (2)由(1)可知:BD⊥AC, ∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, ∴PD⊥AC. 又∵AC∩BD=H. ∴AC⊥平面PBD. |
举一反三
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E为PC的中点. 求证: (1)PA∥平面BDE; (2)AC⊥平面PBD.
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如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD; (2)求二面角A-BC-P的大小.
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.直线AC | B.直线B1D1 | C.直线A1D1 | D.直线A1A |
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如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC中共有( )个直角三角形.
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如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=. (Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC; (Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.
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