如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB的中点．（1）求证：BC1⊥平面AB1C；（2）求证：BC1∥平面A1CD．

题型：不详难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，BC=BB₁，D为AB的中点．
（1）求证：BC₁⊥平面AB₁C；
（2）求证：BC₁∥平面A₁CD．

答案

证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱
∴CC₁⊥平面ABC；
又∵AC⊂平面ABC
∴CC₁⊥AC
又∵AC⊥BC，CC₁∩BC=C
∴AC⊥平面B₁C₁CB
又∵B₁C⊂平面B₁C₁CB
∴B₁C⊥AC
又∵BC=BB₁，
∴平面B₁C₁CB为正方形，
∴B₁C⊥BC₁，又∵B₁C∩AC=C
∴BC₁⊥平面AB₁C；
（2）连接BC₁，连接AC₁于E，连接DE，E是AC₁中点，
D是AB中点，则DE∥BC₁，
又DE⊂面CA₁D₁，BC₁⊄面CA₁D₁
∴BC₁∥面CA₁D