如图，在四棱锥V-ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（1）证明：AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥V-ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
（1）证明：AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

答案

证明：（1）平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD
（2）取VD中点E，连接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE=

3

2

AD
∵AB⊥面VAD，AE，VD⊂平面VAD
∴AB⊥VD，AB⊥AE∴AE⊥VD，AB⊥VD，AB∩AE=A，且AB，AE⊂平面ABE，D
VD⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，∴BE⊥VD，
∴∠AEB即为所求的二面角的平面角．
在RT△ABE中，tan∠AEB=

AB

AE

=

2

3

3

，
cos∠AEB=

21

7