如图,四面体ABCD中,O、E分别为BD、BC的中点,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2.(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成

如图,四面体ABCD中,O、E分别为BD、BC的中点,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2.(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成

题型:不详难度:来源:
如图,四面体ABCD中,O、E分别为BD、BC的中点,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=


2

(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
答案
(1)证明:△ABD中
∵AB=AD=


2
,O是BD中点,BD=2
∴AO⊥BD且AO=


AB2-BO2
=1
△BCD中,连结OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且CO=


BC2-BO2
=


3

△AOC中AO=1,CO=


3
,AC=2
∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD
(2)取AC中点F,连结OF、OE、EF
△ABC中E、F分别为BC、AC中点
∴EFAB,且EF=
1
2
AB=


2
2

△BCD中O、E分别为BD、BC中点
∴OECD且OE=
1
2
CD=1

∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF(或其补角)
又OF是Rt△AOC斜边上的中线
OF=
1
2
AC=1

∴等腰△OEF中cos∠OEF=
1
2
EF
OE
=


2
4

举一反三
△ABC所在平面外一点P,分别连接PA、PB、PC,则这四个三角形中直角三角形最多有(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个
题型:不详难度:| 查看答案
如图,三棱锥P-ABC中,PA=AB,PC=BC,E、F、G分别为PA、AB、PB的中点,
(1)求证:EF平面PBC;
(2)求证:EF⊥平面ACG.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数有(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个

题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,E、F、H分别是线段PA、PD、AB的中点.
(1)求证:PD⊥平面AHF;
(2)求证:平面PBC平面EFH.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD,AD⊥DC,PD=AD=DC=2AB,则异面直线PA与BC所成角的余弦值为(  )
A.
15
5
B.


10
5
C.-


10
5
D.


10
4

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