如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：平面AB1C∥平面DA1C1

题型：江苏期末题难度：来源：

如图，棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）证明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁
（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

答案

证明：（1）连BD，
∵面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC
因为平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
又因为AA₁平面AA₁C₁C，
所以BD⊥AA₁
（2）连AB₁，B₁C，由棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的性质知：
AB₁∥DC₁，AD∥B₁C，AB₁∩B₁C=B₁，A₁D∩DC₁=D，
所以由面面平行的判定定理知：平面AB₁C∥平面DA₁C₁
（3）存在这样的点P，因为A₁B₁∥AB∥DC，
所以四边形A₁B₁CD为平行四边形．
所以A₁D∥B₁C，
在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，
因为B₁B∥CC₁，所以BB₁∥CP，
所以四边形BB₁CP为平行四边形，即BP∥B₁C，
所以BP∥A₁D，所以BP∥平面DA₁C₁，
所以在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁．