如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥

如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．
（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
（Ⅱ）设 AC、BD交于点O，求直线BO与平面AEC所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2和1的矩形，
侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，
又PF面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，，0）．
∴．
设，是平面EAC的一个法向量，则由得即
取x=1得．
而，
∴．
设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=．
∴直线BO与平面AEC所成角的正弦值为．