如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．（1）求证：BD⊥

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如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．

答案

证明：（1）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则
B（0，1，0），C（﹣2，4，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，4），
∴

，

，
∴

所以PC⊥BD．
（2）易证

为面PAC的法向量，设面PBC的法向量n=（a，b，c），

所以

所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=﹣

．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B﹣PC﹣A的余弦值为

．

举一反三

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁

平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D﹣A₁C﹣A的余弦值．

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已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ．

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如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：
①BC⊥面PAC；
②AF⊥面PCB；
③EF⊥PB；
④AE⊥面PBC．
其中正确命题个数是（）个．

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在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：PC⊥AE；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．

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矩形ABCD中，AB=

，BC=2，Q为AD的中点，将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，记A、D重合的点为P．
（1）求二面角B﹣PQ﹣C的大小；
（2）证明PQ⊥BC；
（3）求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小．

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如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4． （1）求证：BD⊥