(1)解:在矩形ABCD中,AB⊥AQ,DC⊥DQ,
所以,在折起后,有PB⊥PQ,APC⊥PQ,
所以∠BPC就是所求的二面角的平面角.
因为 ,BC=2,
所以PB2+PC2=BC2,
即△PBC是直角三角形,所以∠BPC=90°.
(2)证明:由已知可得△BCQ、△BCP都是等腰三角形,取BC中点M,连PM、QM,
则有PM⊥BC,QM⊥BC,
因为PM∩QM=M,PM平面PQM,QM平面PQM,
所以BC⊥平面PQM,
因为PQ平面PQM,
所以PQ⊥BC.
(3)解:由(2)知BC⊥平面PQM,而BC平面BCQ,
所以平面PQM⊥平面BCQ.
又平面PQM∩平面BCQ=QM,
所以,作PN⊥QM,
有PN⊥平面BCQ,
所以QN是PQ在平面BCQ内的射影,
所以∠PQN就是所求的角.
在等腰△BCQ中,QC= ,MC=1,所以得OM= ;
在等腰△BCP中,易得PM=1,
所以△PQM是等腰直角三角形,
于是∠PQN=∠PQM=45°.
如图,棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)证明:BD⊥AA1;
(2)证明:平面AB1C∥平面DA1C1
(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.
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