(Ⅰ)证明:因为侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形, 所以AA1⊥AC,AA1⊥AB, 所以AA1⊥平面ABC,三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱. 因为A1D平面A1B1C1, 所以CC1⊥A1D, 又因为A1B1=A1C1,D为B1C1中点, 所以A1D⊥B1C1. 因为CC1∩B1C1=C1, 所以A1D⊥平面BB1C1C. (Ⅱ)证明:连接AC1,交A1C于点O,连接OD, 因为ACC1A1为正方形, 所以O为AC1中点, 又D为B1C1中点, 所以OD为△AB1C1中位线,所以AB1OD, 因为OD平面A1DC,AB1平面A1DC, 所以AB1平面A1DC. (Ⅲ)解:因为侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°, 所以AB,AC,AA1两两互相垂直, 如图所示建立直角坐标系A﹣xyz.设AB=1,则.,设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z), 则有,,x=﹣y=﹣z, 取x=1,得n=(1,﹣1,﹣1). 又因为AB⊥平面ACC1A1,所以平面ACC1A1的法向量为, , 因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角, 所以,二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为. |