在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.(1)求证:PC⊥AE;(

在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.(1)求证:PC⊥AE;(

题型:江苏月考题难度:来源:
在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)求证:PC⊥AE;
(2)求证:CE∥平面PAB;
(3)求三棱锥P﹣ACE的体积V.
答案
解:(1)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,
∴BC= ,AC=2.
取PC中点F,连AF,EF,
∵PA=AC=2,
∴PC⊥AF.
∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴PA⊥CD,
又∠ACD=90°,即CD⊥AC,
∴CD⊥平面PAC,
∴CD⊥PC,
∴EF⊥PC,
∴PC⊥平面AEF,
∴PC⊥AE.
(2)证明:取AD中点M,连EM,CM.
则 EM∥PA.
∵EM平面PAB,PA平面PAB,
∴EM∥平面PAB.
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,
∴∠ACM=60°.
而∠BAC=60°,
∴MC∥AB.
∵MC平面PAB,AB平面PAB,
∴MC∥平面PAB.
∵EM∩MC=M,
∴平面EMC∥平面PAB.
∵EC平面EMC,
∴EC∥平面PAB.
(3)由(1)知AC=2,EF=CD,且EF⊥平面PAC.
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,
∴CD=2
得EF=
则V=
举一反三
矩形ABCD中,AB= ,BC=2,Q为AD的中点,将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起,使得AQ、DQ重合,记A、D重合的点为P.
(1)求二面角B﹣PQ﹣C的大小;
(2)证明PQ⊥BC;
(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小.
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如图,AB是圆O的直径,C是圆O上的点,PA垂直于圆O所在平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F求证:
(1)BC⊥AF;
(2)平面AEF⊥平面PAB;
(3)AB=2,,求三棱锥P﹣ABC的全面积.
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如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
(1)求证:EF⊥B1C;
(2)求三棱锥B1﹣EFC的体积.
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如图,棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)证明:BD⊥AA1;
(2)证明:平面AB1C∥平面DA1C1
(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.



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如图,多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.
(1)证明四边形ABED是正方形;
(2)判断点B,C,F,G是否四点共面,并说明为什么?
(3)连接CF,BG,BD,求证:CF⊥平面BDG.
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