解:(1)AB∥平面DEF,理由如下如图:
在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF∥AB,
又AB平面DEF,EF平面DEF.
∴AB∥平面DEF.
(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,
这时EM∥AD
∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连接EN,则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角
在Rt△EMN中,EM=1,MN=
∴tan∠MNE=,,
∴cos∠MNE=.
二面角E﹣DF﹣C的余弦值:.
(3)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE
证明如下:在线段BC上取点P.使BP= BC,过P作PQ⊥CD于Q,
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
∴DQ=DC=,
∴tan∠DAQ=
∴=,
∴∠DAQ=30°
在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE ∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE.
AQ∩AP=A ∴DE⊥平面APQ, ∴AP⊥DE.
此时BP=BC,
∴=.
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