正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B1E=，（Ⅰ）求证：B1D⊥平面D1AC；（Ⅱ）求异面直线D1O与A1D

题型：北京模拟题难度：来源：

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B₁B上一点，且B₁E=，
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅱ）求异面直线D₁O与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值。

答案

解：（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
则
，
∴，
，

，
又AC与AD₁交于A点，
，
∴B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅱ）设A₁D与D₁O所成的角为θ，
，
∴，
∴，
所求异面直线A₁D与D₁O所成角的余弦值为；
（Ⅲ）设平面AEC与直线D₁O所成的角为φ，
设平面AEC的法向量为，
，
，
，
令z=1，则，
∴，
∴，
所求平面AEC与直线D₁O所成角的正弦值为。