下图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图,在直观图中SA=SC,M,N分别为AB,SB的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角M-NC-B的余弦值。

下图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图,在直观图中SA=SC,M,N分别为AB,SB的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角M-NC-B的余弦值。

题型:山东省期末题难度:来源:
下图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图,在直观图中SA=SC,M,N分别为AB,SB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角M-NC-B的余弦值。
答案
解:由题意知,SA=SC=2,侧面SAC⊥底面ABC,
底面△ABC为正三角形,
(Ⅰ)取AC的中点O,连接OS,OB,
因为SA=SC,AB=BC,
所以AC⊥SO,AC⊥OB,
所以AC⊥平面OSB,
所以AC⊥SB.
(Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz,




n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
,取z=1,则
所以,
又由(Ⅰ)得,
m=(a,b,c)为平面NBC的法向量,

令c=1,则
所以,
所以,二面角M-NC-B的余弦值为
举一反三
已知α,β表示两个互相垂直的平面,a,b表示一对异面直线,则a⊥b的一个充分条件是[     ]
A.a∥α,b⊥β
B.a∥α,b∥β
C.a⊥α,b∥β
D.a⊥α,b⊥β
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
如图,已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,,E,F分别是AC,AD上的动点,且
(Ⅰ)判断EF与平面ABC的位置关系并证明;
(Ⅱ)若面BEF与面BCD所成的角为60°,求λ的值。
题型:湖南省模拟题难度:| 查看答案
如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中点,以AE为折痕将△DAE向上折起,使D为D′,且平面D′AE平面⊥ABCE,
(Ⅰ)求证:AD′⊥EB;
(Ⅱ)求二面角A-BD′-E的大小。

题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点,
(Ⅰ)证明:CD⊥AE;
(Ⅱ)证明:PD⊥平面ABE;
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值。
题型:模拟题难度:| 查看答案
已知a,b,l表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,有下列四个命题:
①若α∩β=a,β∩γ=b且a∥b,则α∥γ;
②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,bβ, a⊥b,则b⊥α;
④若aα,bα, l⊥a,l⊥b,则 l⊥α;其中正确的是

[     ]

A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
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