如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=CD，(Ⅰ)求证：PE⊥平面PBC

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=CD，
(Ⅰ)求证：PE⊥平面PBC；
(Ⅱ)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由；
(Ⅲ)求二面角E-BD-A的余弦值。

答案

解：(Ⅰ) ∵EA∥OP，AO平面ABP，
∴点A，B，P，E共面，
∵PO⊥平面ABCD，PO平面PEA，
∴平面PEAB⊥平面ABCD，
∵BC平面ABCD，BC⊥AB，平面PFAB∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PEAB，PE⊥BC，
由平面几何知识知PE⊥PB，
又BC∩PB=B，
∴PE⊥平面PBC。 
(Ⅱ)点E即为所求的点，即点M与点E重合，
取PB的中点F，连接EF，CF，DE，
由平面几何知识知EF∥AB，且EF=DC，
∴四边形DCEF为平行四边形，所以DE∥CF，
∵CF在平面PBC内，DE不在平面PBC内，
∴DE∥平面PBC。(Ⅲ)由已知可知四边形BCDO是正方形，显然OD，OB，OP两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，设DC=1，
则，
设平面BDE的一个法向量为，并设=（x，y，z），
，
，即，取y=1，则x=1，z=3，
从而，
取平面ABD的一个法向量为，
，
故二面角E-BD-A的余弦值为。