在四棱锥P- ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中点，F是PC的中点，(Ⅰ)

题型：海南省模拟题难度：来源：

在四棱锥P- ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中点，F是PC的中点，
(Ⅰ)求证：BE⊥平面PAD；
(Ⅱ)求证：EF∥平面PAB；
(Ⅲ)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．

答案

(Ⅰ)证明：∵E是AD的中点，连结PE，
∴AB=2，AE=1，
BE²=AB²+AE²-2AB·AE·cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos60°=3，
∴AE²+BE²=1+3=4=AB²，
∴BE⊥AE，
又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴BE⊥平面PAD． 
(Ⅱ)证明：取PB中点为H，连接FH，AH，
∵，又因为HF是△PBC的中位线，
∴，∴，
∴AHFE是平行四边形，
∴EF∥AH，
又平面PAB，AH平面PAB，
∴EF∥平面PAB。
(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知，BC⊥BE，PE⊥BC，
又PE，BE是平面PBE内两相交直线，
∴BC⊥平面PBE，又由(Ⅱ)知，HF∥BC，
∴FH⊥平面PBE，
∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角，
易知，，
在Rt△PEB中，，
∴，∴，
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为。