如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆周上的一点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求三棱锥P-ABC的体积
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如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆周上的一点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求三棱锥P-ABC的体积
题型:不详
难度:
来源:
如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆周上的一点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求三棱锥P-ABC的体积.
答案
证明:(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC,
由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)由AB=2,AC=1,∠ACB=90°,得
CB=
3
,
所以
S
△ABC
=
1
2
×1×
3
=
3
2
,
三棱锥的高是PA=1,
所以
V
P-ABC
=
1
3
×1×
3
2
=
3
6
举一反三
在直四棱住ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AA
1
=2,底面是边长为1的正方形,E、F、G分别是棱B
1
B、D
1
D、DA的中点.
(1)求证:平面AD
1
E
∥
平面BGF;
(2)求证:平面AEC⊥面AD
1
E.
题型:不详
难度:
|
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在长方形AA
1
B
1
B中,AB=2AA
1
,C,C
1
分别AB,A
1
B
1
是的中点(如图1).将此长方形沿CC
1
对折,使平面AA
1
C
1
C⊥平面CC
1
B
1
B(如图2),已知D,E分别是A
1
B
1
,CC
1
的中点.
(1)求证:C
1
D
∥
平面A
1
BE;
(2)求证:平面A
1
BE⊥平面AA
1
B
1
B.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,四个侧面都是等边三角形,AC与BD的交点为O,E为侧棱SC上一点.
(1)当E为侧棱SC的中点时,求证:SA
∥
平面BDE;
(2)求证:平面BED⊥平面SAC.
题型:不详
难度:
|
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如图,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,求:
(1)AO与A′C′所成角;
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB与平面AOC所成角.
题型:不详
难度:
|
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