已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形，且AA1=3，设D为AA1的中点．（1）作出该几何体的直观图并求其体积；（2）求证：

题型：不详难度：来源：

已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩
形，且AA₁=3，设D为AA₁的中点．
（1）作出该几何体的直观图并求其体积；
（2）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；
（3）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC₁？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．

答案

（1）由题意可知该几何体为直三棱柱，它的直观图如图所示：
∵几何体的底面积S=

3

，高h=3
∴所求几何体的体积V=Sh=3

3

，
证明：（2）连接B₁C交BC₁于E点，则E为B₁C，BC₁的中点，连接DE
∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°
∴△ABD≌△DA₁C₁，
∴BD=DC₁，
∴DE⊥BC₁，
又∵B₁C∩BC₁=E，
∴DE⊥平面BB₁C₁C
又∵DE⊂平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
（3）取BC的中点P，连接AP，则AP∥BDC₁，
∴四边形APED为平行四边形
∴AP∥DE，
又∵DE⊂BDC₁，AP⊄BDC₁，
∴AP∥BDC₁．