如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=22.(1)求证

如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=22.(1)求证

题型:不详难度:来源:
如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=2


2

(1)求证:OM平面ABD;
(2)求证:平面DOM⊥平面ABC;
(3)求三棱锥B-DOM的体积.
答案
(1)∵O为AC的中点,M为BC的中点,∴OMAB.
又∵OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,
∴OM平面ABD.
(2)∵在菱形ABCD中,OD⊥AC,∴在三棱锥B-ACD中,OD⊥AC.
在菱形ABCD中,AB=AD=4,∠BAD=60°,可得BD=4.
∵O为BD的中点,∴DO=
1
2
BD=2.
∵O为AC的中点,M为BC的中点,∴OM=
1
2
AB=2.
因此,OD2+OM2=8=DM2,可得OD⊥OM.
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线,
∴OD⊥平面ABC.
∵OD⊂平面DOM,
∴平面DOM⊥平面ABC.
(3)由(2)得,OD⊥平面BOM,所以OD是三棱锥D-BOM的高.
由OD=2,S△BOM=
1
2
×OB×BM×sin60°=


3

所以VB-DOM=VD-BOM=
1
3
S△BOM=×DO=
1
3
×


3
×2
=
2


3
3

举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.
(1)求证:平面PBC丄平面PAC
(2)已知PA=1,AB=2,当三棱锥P-ABC的体积最大时,求BC的长.
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如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,D是AC的中点.
(1)求证:B1C平面A1BD;
(2)求证:平面BDA1⊥平面ACC1A1
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如图,DC⊥平面ABC,EADC,AB=AC=AE=
1
2
DC,M为BD的中点.
(Ⅰ)求证:EM平面ABC;
(Ⅱ)求证:平面AEM⊥平面BDC.
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D为AB的中点.
(1)求证:AC1平面CDB1
(2)求证:平面CDB1⊥平面ABB1A1
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如图所示,四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,三角形PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面APD⊥面ABCD,AB=1,AD=2,E,F分别为PC和BD的中点.
(1)求证:EF平面PAD;
(2)证明:平面PAD⊥平面PDC;
(3)求四棱锥P-ABCD的体积.
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