(Ⅰ)证明:∵AO⊥底面BOC,∴AO⊥OC,AO⊥OB. ∵∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,∴OC=OB=2.(2分) ∵BC=2,∴OC⊥OB,∴OC⊥平面AOB.(4分) ∵OC⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(5分) (Ⅱ):由(Ⅰ)知OC⊥平面AOB, ∴OC⊥OB,OC⊥OD, ∴∠DOB是二面角D-CO-B的平面角.(7分) ∵D为AB的中点,∴OD=2,BD=2, 又OB=2,∴∠DOB=60°, ∴二面角D-CO-B的大小为60°.(9分) (Ⅲ):∵OC⊥平面AOB,CD交平面AOB于D, ∴∠CDO是CD与平面AOB所成角.(10分) tan∠CDO==,据正切函数的单调性知,当OD最小时,∠CDO最大, ∴取OD⊥AB,OD=为最小值,此时,BD=1.(12分) ∴VC-OBD=×××1×2=. 即CD与平面AOB所成角最大时,三棱锥C-OBD的体积为.(14分) |