如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=2.等边三角形ADB以AB为轴运动.(Ⅰ)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;(Ⅱ)当△AD
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如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=2.等边三角形ADB以AB为轴运动.(Ⅰ)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;(Ⅱ)当△AD
题型:海南
难度:
来源:
如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=
2
.
等边三角形ADB以AB为轴运动.
(Ⅰ)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;
(Ⅱ)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
答案
(Ⅰ)取AB的中点E,连接DE,CE,
因为ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,
可知DE⊥CE
由已知可得
DE=
3
,EC=1
,在Rt△DEC中,
CD=
D
E
2
+E
C
2
=2
.
(Ⅱ)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明:(ⅰ)当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,
所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.
(ⅱ)当D不在平面ABC内时,由(Ⅰ)知AB⊥DE.又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,由CD?平面CDE,得AB⊥CD.
综上所述,总有AB⊥CD.
举一反三
已知P是菱形ABCD所在平面外一点,且PB=PD,求证:平面PAC⊥平面PBD.
题型:不详
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已知平面α⊥平面β,点A∈α,则过点A且垂直于平面β的直线( )
A.只有一条,不一定在平面α内
B.有无数条,不一定在平面α内
C.只有一条,一定在平面α内
D.有无数条,一定在平面α内
题型:温州一模
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两个平面平行的条件是( )
A.一个平面内一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
题型:不详
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如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面有( )
A.3对
B.2对
C.1对
D.0对
题型:不详
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设P是△ABC所在平面外一点,P和A、B、C的距离相等,∠BAC为直角.
求证:平面PCB⊥平面ABC.
题型:不详
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