解:(Ⅰ)作MP∥AB交BC于点P,NQ∥AB交BE于点Q,连结PQ, 依题意可得MP∥NQ,且MP=NQ, 即MNQP是平行四边形, ∴MN=PQ, 由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1, ∴AC=BF=,, 即, ∴ ; | |
(Ⅱ)由(Ⅰ),, 所以,当a=时,MN=, 即M、N分别移动到AC、BF的中点时, MN的长最小,最小值为。 | |
(Ⅲ)取MN的中点G,连结AG、BG, ∵AM=AN,BM=BN,G为MN的中点, ∴AG⊥MN,BG⊥MN,∠AGB即为二面角α的平面角, 又AG=BG=, 所以,由余弦定理有, 故所求二面角。 | |