三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.

题型：不详难度：来源：

三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.

（1）证明：为线段的中点；
（2）求二面角的余弦值.

答案

（1）证明详见解析；（2）.

解析

试题分析：根据侧视图和俯视图可知，为正三角形，顶点D在底面内的射影为BD的中点O，所以两两互相垂直，故可以为坐标轴建立坐标系如图所示.（1），为了证明点P是BC的中点，只需利用向量证明即可.（2）利用向量求出平面PMN和平面ABC的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.

试题解答：取BD的中点O，建坐标系如图所示，则，，设（1）证明：设，则，.因为，所以点P是BC的中点.

（2）易平面PMN的法向量为.，设平面ABC的法向量为，则，所以.
【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.