三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设,分别为线段,的中点,为线段上的点,且.(1)证明:为线段的中点;(2)求二面角的余弦值.
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三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设,分别为线段,的中点,为线段上的点,且.(1)证明:为线段的中点;(2)求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
三棱锥
及其侧视图、俯视图如图所示.设
,
分别为线段
,
的中点,
为线段
上的点,且
.
(1)证明:
为线段
的中点;
(2)求二面角
的余弦值.
答案
(1)证明详见解析;(2)
.
解析
试题分析:根据侧视图和俯视图可知,
为正三角形,顶点D在底面内的射影为BD的中点O,所以
两两互相垂直,故可以
为坐标轴建立坐标系如图所示.(1)
,为了证明点P是BC的中点,只需利用向量证明
即可.(2)利用向量求出平面PMN和平面ABC的法向量,求出法向量的夹角即可得二面角
的余弦值.
试题解答:取BD的中点O,建坐标系如图所示,则
,
,设(1)证明:设
,则
,
.因为
,所以点P是BC的中点.
(2)易平面PMN的法向量为
.
,设平面ABC的法向量为
,则
,所以
.
【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系;2、二面角.
举一反三
已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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如图,四棱锥
的高为
,底面
是边长为
的正方形,顶点
在底面上的射影是正方形
的中心
.
是棱
的中点.试求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
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如图,在直三棱柱中
-A BC中,AB
AC,AB=AC=2,
=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线
与
所成角的余弦值;
(2)求平面
与
所成二面角的正弦值.
题型:不详
难度:
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如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为
。
题型:不详
难度:
|
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在正方体
中,直线
与平面
所成角的大小为____________.
题型:不详
难度:
|
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