如图2-4,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N、E分别为AB、PC、PD的中点,当∠PDA为多少度时,MN⊥平面PCD? 图2-4
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如图2-4,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N、E分别为AB、PC、PD的中点,当∠PDA为多少度时,MN⊥平面PCD?
图2-4 |
答案
取PD中点E,连结EN,EA,则ENAM,∴EA∥MN. 若要使MN⊥平面PCD,则只需EA⊥平面PCD. 由题意,CD⊥EA,要使EA⊥平面PCD,则只需EA⊥PD. ∵E是PD中点,△PAD是直角三角形, ∴当∠PDA为45°时,EA⊥平面PCD,从而MN⊥平面PCD. |
解析
求当∠PDA为多少度时,MN⊥平面PCD,可转化为求当MN⊥平面PCD时,∠PDA为多少度.证明时取PD中点E,则易证明四边形EAMN是平行四边形.从而由MN⊥平面PCD可得到EA⊥平面PCD,从而EA⊥PD,又易得△PAD是直角三角形,从而易得到此时∠PDA的度数. |
举一反三
已知从一点P引出三条射线PA、PB、PC,且两两成60°角,则二面角A-PB-C的余弦值是( ) A. B. C. D. |
如下图,正方体ABCD-ABCD中,M、N分别为AB、CC的中点,P为AD上一动点,记为异面直线PM与DN所成的角,则的集合是( )A.{} | B.{|≤≤} | C.{|≤≤} | D.{|≤≤} |
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过正方形ABCD的顶点A作线段AA1⊥平面ABCD,且AA1=AB,则平面ABA1与平面CDA1所成的二面角的度数是( ) |
S是正△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC=AB,如果E、F分别为SC、AB中点,则异面直线EF与SA所成的角为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° |
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