如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，

题型：专项题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点，
(Ⅰ)求证：DM∥平面PCB；
(Ⅱ)求直线AD与PB所成角；
(Ⅲ)求三棱锥P-MBD的体积．

答案

解：(Ⅰ)取PB的中点F，连接MF，CF，
∵M，F分别为PA，PB的中点，
∴MF∥AB，且，
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD，
∴四边形CDFM是平行四边形，
∴DM∥CF，
∵CF平面PCB，
∴DM∥平面PCB。
(Ⅱ)取AD的中点G，连接PG，GB，BD，
∵PA=PD，
∴PG⊥AD，
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，
∴AD⊥平面PGB，
∴AD⊥PB，即直线AD与PB所成角的是90°。
(Ⅲ) V_P-MBD=V_B-PMD，
。