如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥DB,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥P

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥DB,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥P

题型:0108 模拟题难度:来源:
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥DB,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD。
(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值;
(2)求二面角P-AB-C的大小;
(3)设点M在棱PC上,且=λ,问λ为何值时,PC⊥平面BMD。
答案
解:∵PO⊥平面ABCD,
∴PO⊥BD
又PB⊥PD,BO=2,PO=
∴OD=OC=1,BO=AO=2,
以O为原点,OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则各点坐标为O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,)。
(1)∵


故直线PD与BC所成角的余弦值为
(2)设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)
由于

令x=1,则y=1,z=
∴n=(1,1,
又易知平面ABCD的一个法向量m=(0,0,1),
∴cos〈m,n〉=
又二面角P-AB-C是锐角,
∴所求二面角P-AB-C的大小为45°。
(3)设M(x0,0,z0),由于P、M、C三点共线,
 ①
∵PC⊥平面BMD,
∴OM⊥PC
∴(-1,0,-)·(x0,0,z0)=0
 ②
由①②知

=2
故λ=2时,PC⊥平面BMD。
举一反三
已知如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1,BC=2,又PB⊥平面ABCD,且PB=1,点E在棱PD上,且DE=2PE,
(Ⅰ)求异面直线PA与CD所成的角的大小;
(Ⅱ)求证:BE⊥平面PCD;
(Ⅲ)求二面角A-PD-B的大小.
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平面α的斜线l与平面α所成的角是45°,则l与平面α内所有不经过斜足的直线所成的角中,最大的角是[     ]
A.135°
B.90°
C.60°
D.45°
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在空间中,下列命题正确的是[     ]
A.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.两条异面直线所成角的范围是[0,]
C.如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行
D.如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
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如图S为正三角形ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC=AB,E、F分别为SC、AB中点,则异面直线EF与AB所成角为
[     ]
A.60°
B.90°
C.45°
D.30°
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为(    )。
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