已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE

题型：0108 模拟题难度：来源：

已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE，
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的大小.

答案

解：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x，y、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，
又DE=2PE，
∴，
（1），
∴，
∴异面直线PA与CD所成的角为60°。
（2），
∴，
，
∴，
又PD∩PC=P，
∴BE⊥平面PCD。
（3）设平面PAD的一个法向量为，
则由，得，
令z=1，则，
又，设平面PBD的法向量为，
则由，得，
令，则，
∴，
∴，
又二面角A-PD-B为锐二面角，
故二面角A-PD-B的大小为60°。