如图①，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C的中点．求证：(1

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如图①，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A₁EFB，若M为线段A₁C的中点．求证：

(1)直线FM∥平面A₁EB；
(2)平面A₁FC⊥平面A₁BC.

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

(1)取A₁B中点N，连结NE、NM，则MN∥=

BC，EF∥=

BC，所以MN∥=FE，所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN.又FM

平面A₁EB，EN∥平面A₁EB，所以直线FM∥平面A₁EB.
(2)因为E、F分别为AB和AC的中点，所以A₁F＝FC，所以FM⊥A₁C.同理，EN⊥A₁B.由(1)知FM∥EN，所以FM⊥A₁B.又A₁C∩A₁B＝A₁，所以FM⊥平面A₁BC.因为FM

平面A₁FC，所以平面A₁FC⊥平面A₁BC

举一反三

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，G、H分别为DC、BC的中点．

(1)求证：平面FGH∥平面BDE；
(2)求证：平面ACF⊥平面BDE.

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给出下列命题：
①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，真命题是________．(填序号)

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如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

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如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图②，将△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC、BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．求证：

图①图②
(1)AE⊥BD；
(2)平面PEF⊥平面AECD.

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如图，在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C₁CF∥平面ADD₁A₁？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．

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