如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.(1)求证:C1E∥平面AD

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.(1)求证:C1E∥平面AD

题型:不详难度:来源:
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.

(1)求证:C1E∥平面ADF;
(2)设点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF?
答案
(1)见解析(2)当BM=1时
解析
(1)证明:连结CE交AD于O,连结OF.
因为CE,AD为△ABC中线,所以O为△ABC的重心,.
从而OF//C1E.OF平面ADF,C1E平面ADF,所以C1E∥平面ADF.
(2)解:当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,由于B1B⊥平面ABC,BB1平面B1BCC1,所以平面B1BCC1⊥平面ABC.由于AB=AC,D是BC中点,所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC=BC,所以AD⊥平面B1BCC1.而CM平面B1BCC1,于是AD⊥CM.因为BM=CD=1,BC=CF=2,所以Rt△CBM≌Rt△FCD,所以CM⊥DF.DF与AD相交,所以CM⊥平面ADF.CM⊥平面CAM,所以平面CAM⊥平面ADF.当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.
举一反三
如图①,E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点,∠B=90°,沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1EFB,若M为线段A1C的中点.求证:

(1)直线FM∥平面A1EB;
(2)平面A1FC⊥平面A1BC.
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如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,G、H分别为DC、BC的中点.

(1)求证:平面FGH∥平面BDE;
(2)求证:平面ACF⊥平面BDE.
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给出下列命题:
①若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
③若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,真命题是________.(填序号)
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如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

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如图①,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点.如图②,将△ABE沿AE折起,使二面角BAEC成直二面角,连结BC、BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点.求证:

图①图②
(1)AE⊥BD;
(2)平面PEF⊥平面AECD.
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