如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)

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如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．

答案

（1）AC＝BD，（2）AC＝BD且AC⊥BD

解析

易知EH∥BD∥FG，且EH＝

BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝

AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.

举一反三

设P表示一个点，a，b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)
①P∈a，P∈α

α；
②a∩b＝P，b

β；
③a∥b，a

α，P∈b，P∈α

α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β

P∈b.

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画一个正方体ABCDA₁B₁C₁D₁，再画出平面ACD₁与平面BDC₁的交线，并且说明理由．

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在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁的A₁C₁面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B₁D₁)上．

(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；
(2)过P点在平面A₁C₁内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈

，这样的直线有几条，应该如何作图？

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如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥=

AD，BE∥=

FA，G、H分别为FA、FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

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如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C与平面BDC₁交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA₁的中点．求证：

(1)C₁、O、M三点共线；
(2)E、C、D₁、F四点共面．

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