如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且AD=DC=CB=AB.直角梯形ACEF中,,是锐角,且平面ACEF⊥平面ABCD.(1)求证:;(2)若直
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如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且AD=DC=CB=AB.直角梯形ACEF中,,是锐角,且平面ACEF⊥平面ABCD.(1)求证:;(2)若直
题型:不详
难度:
来源:
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且AD=DC=CB=
AB.直角梯形ACEF中,
,
是锐角,且平面ACEF⊥平面ABCD.
(1)求证:
;
(2)若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是
,试求
的余弦值.
答案
(1)详见试题解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)证明线线垂直,可转化为证明线面垂直.要证
,只要证
平面
,由已知平面ACEF⊥平面ABCD,故由面面垂直的性质定理知,只要证
.在等腰梯形ABCD中,由已知条件及平面几何相关知识易得
;(2)连结
交
于
,再连结EM,FM,易知四边形
为菱形,∴DM⊥AC,注意到平面
平面
,故DM⊥平面
.于是,
即为直线DE与平面ACEF所成的角.在
中由锐角三角函数可求得
的长,再在
中由锐角三角函数即可求得
的余弦值.
试题解析:(1)证明:在等腰梯形ABCD中,∵AD=DC=CB=
AB,∴AD、BC为腰,取AB得中点H,连CH,易知,四边形ADCH为菱形,则CH=AH=BH,故△ACB为直角三角形,
. 3分
平面
平面
,且平面
平面
,
平面
,而
平面
,故
. 6分
(2)连结
交
于
,再连结EM,FM,易知四边形
为菱形,∴DM⊥AC,注意到平面
平面
,故DM⊥平面
.于是,
即为直线DE与平面ACEF所成的角. 9分
设AD=DC=BC=
,则MD=
,
.依题意,
,
,在
中,
,∵
=AM,
四边形AMEF为平行四边形,
,
,
. 12分
举一反三
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且AD=DC=CB=
AB.直角梯形ACEF中,
,
是锐角,且平面ACEF⊥平面ABCD.
(1)求证:
;
(2)试判断直线DF与平面BCE的位置关系,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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直线
均不在平面
内,给出下列命题:
①若
,则
;②若
,则
;③若
,则
;④若
,则
.则其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在矩形ABCD中,AB=a,BC=
a,以对角线AC为折线将直角三角形ABC向上翻折到三角形APC的位置(B点与P点重合),P点在平面ACD上的射影恰好落在边AD上的H处.
(1)求证:PA⊥CD;
(2)求直线PC与平面ACD所成角的正切值.
题型:不详
难度:
|
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正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是线段C
1
D,BC的中点,则直线A
1
B与直线EF的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
题型:不详
难度:
|
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已知命题:①若点P不在平面α内,A,B,C三点都在平面α内,则P,A,B,C四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
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