如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，

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如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC	B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC	D．平面ADC⊥平面ABC

答案

解析

由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.
在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，
所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.
又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.

举一反三

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁＝A₁C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．

(1)证明：A₁O⊥平面ABC；
(2)若E是线段A₁B上一点，且满足VE－BCC₁＝

·VABC－A₁B₁C₁，求A₁E的长度．

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如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝

AB＝1，M是PB的中点．

(1)求证：AM＝CM；
(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.

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如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC₁的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA₁＝2.

(1)求证：CF∥平面AB₁E；
(2)求三棱锥C－AB₁E在底面AB₁E上的高．

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如图，多面体ABC－A₁B₁C₁中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，AA₁＝BB₁＝2CC₁＝4.

(1)若O是AB的中点，求证：OC₁⊥A₁B₁；
(2)在线段AB₁上是否存在一点D，使得CD∥平面A₁B₁C₁，若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由．

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如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=

AB．直角梯形ACEF中，

，

是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（1）求证：

；
（2）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是

，试求

的余弦值．

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