如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点． (1)证明：A1O⊥平面A

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁＝A₁C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．
 
(1)证明：A₁O⊥平面ABC；
(2)若E是线段A₁B上一点，且满足VE－BCC₁＝·VABC－A₁B₁C₁，求A₁E的长度．

答案

（1）见解析（2）

解析

(1)证明：∵AA₁＝A₁C＝AC＝2，且O为AC中点，
∴A₁O⊥AC，又∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C∩底面ABC＝AC，A₁O⊂平面A₁AC，
∴A₁O⊥平面ABC.
(2)∵VE－BCC₁＝VABC－A₁B₁C₁＝VA₁－BCC₁，∴BE＝BA₁，即A₁E＝A₁B.
连接OB，在Rt△A₁OB中，A₁O⊥OB，A₁O＝，BO＝1，故A₁B＝2，则A₁E的长度为.