如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点． (1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA

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如图，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．

(1)求证：BC₁∥平面A₁CD；
(2)若四边形BCC₁B₁是矩形，且CD⊥DA₁，求证：三棱柱ABCA₁B₁C₁是正三棱柱．

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

(1)连接AC₁，设AC₁与A₁C相交于点O，连接DO，则O为AC₁中点，

∵D为AB的中点，∴DO∥BC₁
∵BC₁⊄平面A₁CD，DO⊂平面A₁CD
∴BC₁∥平面A₁CD；
(2)∵等边△ABC，D为AB的中点，∴CD⊥AB
∵CD⊥DA₁，DA₁∩AB＝D，∴CD⊥平面ABB₁A₁
∵BB₁⊂平面ABB₁A₁，∴BB₁⊥CD，
∵四边形BCC₁B₁是矩形，∴BB₁⊥BC
∵BC∩CD＝C，∴BB₁⊥平面ABC
∵底面△ABC是等边三角形
∴三棱柱ABCA₁B₁C₁是正三棱柱．

举一反三

设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列为真命题的是(　　)

A．若l∥α，l∥β，则α∥β	B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β	D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

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设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列为真命题的是(　　)

A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

B．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β

C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n

D．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n

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设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是(　　)

A．若α⊥β，m⊥α，则m∥β	B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n∥m，则n⊥α	D．若m∥α，n∥α，则m∥n

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下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充分条件是“直线a平行于直线b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α”的充要条件是“直线垂直平面α内无数条直线”；
③“直线a，b不相交”的必要不充分条件是“直线a，b为异面直线”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等”．
其中为真命题的序号是(　　)

A．①②

B．②③

C．③④

D．④

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如图所示，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是CC₁，C₁D₁，D₁D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上或其内部运动，且使MN⊥AC.

对于下列命题：①点M可以与点H重合；②点M可以与点F重合；③点M可以在线段FH上；④点M可以与点E重合．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．

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如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点． (1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA