(1)法一因为D1D⊥平面ABCD,且BD⊂平面ABCD,所以D1D⊥BD. 在△ABD中,由余弦定理,得 BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠BAD. 又因为AB=2AD,∠BAD=60°,所以BD2=3AD2. 所以AD2+BD2=AB2,因此AD⊥BD. 又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1. 又AA1⊂平面ADD1A1,所以AA1⊥BD. 法二因为DD1⊥平面ABCD,且BD⊂平面ABCD, 所以BD⊥D1D. 如图1,取AB的中点G,连接DG.
图1 在△ABD中,由AB=2AD,得AG=AD.又∠BAD=60°,所以△ADG为等边三角形,所以GD=GB,故∠DBG=∠GDB. 又∠AGD=60°,所以∠GDB=30°, 所以∠ADB=∠ADG+∠GDB=60°+30°=90°, 所以BD⊥AD. 又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1. 又AA1⊂平面ADD1A1,所以AA1⊥BD. (2)如图2,连接AC,A1C1. 设AC∩BD于点E,
图2 连接EA1. 因为四边形ABCD为平行四边形, 所以EC=AC. 由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1知, A1C1∥EC且A1C1=EC, 所以四边形A1ECC1为平行四边形, 因此CC1∥EA1. 又因为EA1⊂平面A1BD,CC1⊄平面A1BD, 所以CC1∥平面A1BD. |