试题分析:(Ⅰ)证两平面垂直,先证一个面内的一条直线垂直另一个平面. 在本题中可证得: 平面 ,也可证: ⊥平面 . (Ⅱ)法一、由(Ⅰ)题可得:直线 、 、 两两垂直,故可以 为原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求异面直线 与 所成角的余弦值. 法二、可过 作 的平行线,从而将异面直线 与 所成角转化相交直线所成的角. 试题解析:(Ⅰ)法一: 为 的中点,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041824-37786.png) 又 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041825-13180.png) ∴四边形 为平行四边形,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041825-94740.png)
即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041825-47921.png) 又∵平面 平面 且平面 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041826-17585.png)
平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041823-88227.png) 又 平面 ,∴平面 平面 6分 法二: , , 为 的中点,∴ 且 . ∴四边形 为平行四边形,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041826-61101.png) ∵ ∴ 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041825-47921.png) ∵ ∴ ∵ , ∴ ⊥平面 . ∵ ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041823-73723.png) 平面 , ∴平面 ⊥平面 . 6分 (Ⅱ)∵ , 为 的中点, ∴ . ∵平面 平面 且平面 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041826-17585.png) ∴ 平面 . 8分 (注:不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分) 如图,以 为原点建立空间直角坐标系.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041827-52444.png) 则 , , , ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041828-45656.png) ∵ 是 中点,∴ ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041828-40396.png) 设异面直线 与 所成角为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041829-93654.png) 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041829-77031.png) =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041823-63308.png) ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 14分 法二、连接 交 于点 ,连接 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041830-96588.png) 所以 就是异面直线 与 所成角
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041830-61254.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041831-82399.png) 由(1)知 平面 ,所以 进而![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022041831-40831.png)
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