在边长为的正方形中,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,重合后的点记为,构成一个三棱锥.(1)请判断与平面的位置关系,并给出证明;(2)证明平面;

在边长为的正方形中,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,重合后的点记为,构成一个三棱锥.(1)请判断与平面的位置关系,并给出证明;(2)证明平面;

题型:不详难度:来源:
在边长为的正方形中,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,重合后的点记为,构成一个三棱锥.

(1)请判断与平面的位置关系,并给出证明;
(2)证明平面
(3)求四棱锥的体积.
答案
(1)平行;(2)证明即可;(3)2.
解析

试题分析:本题考查空间想象能力,在折叠过程中,找到不变的量是求解的关键.
(1)由中位线定理,可证明平行;(2)证明即可;(3)由,计算可得.
试题解析:(1)平行平面 
证明:由题意可知点在折叠前后都分别是的中点(折叠后两点重合)
所以平行
因为,所以平行平面.
(2)证明:由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.
因为在折叠前,由于折叠后,点,所以 
因为,所以平面.
(3) 

 .
举一反三
如图,在三棱柱中,侧棱底面

(1)证明:平面
(2)若是棱的中点,在棱上是否存在一点,使平面?证明你的结论.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC交 AC 于点 M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.

(I)证明:EM⊥BF;
(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥的底面为矩形,分别是的中点,

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求证:平面平面
题型:不详难度:| 查看答案
如图,三棱锥中,底面的中点,点上,且.

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)求平面与平面所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直三棱柱中,,异面直线所成
的角为.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)设的中点,求与平面所成角的正弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
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