如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点
题型:不详
难度:
来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90
O
,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在点E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角为60
o
.若存在求出λ值,若不存在,请说明理由。
答案
(1)建系,利用
,证明PB⊥DM
(2)
(3)先假设存在,求出法向量,可以算出无解,所以不存在符合要求的解.
解析
试题分析:(1)如图以A为原点建立空间直角坐标系
A(0,0,0),B(2,0,0),
C(2,1,0),D(0,2,0)
M(1,
,1),N(1,0,1),
E(0,m,2-m),P(0,0,2)
(2,0,-2),
(1,-
,1),
="0"
(2)
=(-2,1,0)平面ADMN法向量
=(x,y,z),
=(0,2,0),
=(1,0,1) ,
所以
,即
,解得
=(1,0,-1),
设CD与平面ADMN所成角α,则
.
(3)设平面ACN法向量
=(x,y,z),
所以
,解得
=(1,-2,-1),
设
,所以
,
同理可以求出平面AEN的法向量
,
因为
,所以
,
所以
,
此方程无解,所以不存在符合要求的点.
点评:解决立体几何问题,可以建立空间向量,但是证明时也要根据相应的判定定理和性质定理,定理中要求的条件要一一列举出来,另外还要注意各种角的取值范围.
举一反三
(本小题满分12分)
在四棱柱
中,底面
是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=
,AB=PB=PC=BC=2CD=2,平面PBC⊥平面ABCD
(1)求证:AB⊥平面PBC
(2)求三棱锥C-ADP的体积
(3)在棱PB上是否存在点M使CM∥平面PAD?
若存在,求
的值。若不存在,请说明理由。
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中, AC⊥BC.
(1) 求证:平面AB
1
C
1
⊥平面AC
1
;
(2) 若AB
1
⊥A
1
C,求线段AC与AA
1
长度之比;
(3) 若D是棱CC
1
的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB
1
C
1
?若存在,试确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分10分)
如图,在棱长为3的正方体
中,
.
⑴求两条异面直线
与
所成角的余弦值;
⑵求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知
表示两个互相垂直的平面,
表示一对异面直线,则
的一个充分条件是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分l2分)
如图,在多面体ABCDEF中,ABCD为菱形,
ABC=60
,EC
面ABCD,FA
面ABCD,G为BF的中点,若EG//面ABCD.
(1)求证:EG
面ABF;
(2)若AF=AB,求二面角B—EF—D的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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