如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点(I)求证:平面BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(III)求点E到平面ACD的距离。
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如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点(I)求证:平面BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(III)求点E到平面ACD的距离。
题型:不详
难度:
来源:
如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点
(I)求证:
平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(III)求点E到平面ACD的距离。
答案
(I)证明:见解析;(II)
(III)点E到平面ACD的距离为
解析
试题分析:(I)欲证AO⊥平面BCD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直,而CO⊥BD,AO⊥OC,BD∩OC=O,满足定理;
(II)以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,异面直线AB与CD的向量坐标,求出两向量的夹角即可;
(III)求出平面ACD的法向量,点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可.
解:(I)证明:连结OC
在
中,由已知可得
而
即
平面
(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在
中,
是直角
斜边AC上的中线,
(III)解:设点E到平面ACD的距离为
在
中,
而
点E到平面ACD的距离为
点评:解决该试题的关键是能对于空间中点线面的位置关系的研究,既可以运用几何方法来证明,也可以建立直角坐标系,借助于向量来得到。
举一反三
(本题满分12分)如图所示,已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是矩形,M、N分别是CD、SC的中点,SA⊥底面ABCD,SA=AD=1,AB=
.
(1)求证:MN⊥平面ABN;(2)求二面角A—BN—C的余弦值
题型:不详
难度:
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(20) (本题满分14分) 已知正四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2 的正方形,高为
.M为线段PC的中点.
(Ⅰ) 求证:PA∥平面MDB;
(Ⅱ) N为AP的中点,求CN与平面MBD所成角的正切值.
题型:不详
难度:
|
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已知
是不同的直线,
是不同的平面,给出下列命题真命题是
A.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n
B.若m//α,n//β,α//β,则m//n
C.若m⊥α,n//β,α⊥β,则m⊥n
D.若m//α,n⊥β,α⊥β,则m//n
题型:不详
难度:
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(12分)在四棱锥
中,底面ABCD是边长为1的正方形,
平面ABCD,PA=AB,M,N分别为PB,AC的中点,
(1)求证:MN //平面PAD (2)求点B到平面AMN的距离
题型:不详
难度:
|
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设
是空间三条直线,
是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不正确的是( )
A.当
时,若
,则
B.当
时,若
,则
C.当
且
是
在
内的射影时,若
,则
D.当
且
时,若
,则
题型:不详
难度:
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