如图,三棱锥中,底面,,,为的中点,点在上,且.(1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
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如图,三棱锥中,底面,,,为的中点,点在上,且.(1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,三棱锥
中,
底面
,
,
,
为
的中点,点
在
上,且
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求平面
与平面
所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
答案
(1)证明:∵
底面
,且
底面
,
∴
…………………1分
由
,可得
…………………………2分
又
,
∴
平面
…………………………3分
注意到
平面
,
∴
…………………………4分
,
为
中点,
∴
…………………………5分
,
平面
…………………………6分
而
平面
,
∴
…………………………7分
(2)方法一、如图,以
为原点、
所在直线为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系.
则
…………………………8分
. …………………………10分
设平面
的法向量
.
由
得
,
即
……………(1)
……………(2)
取
,则
,
. …………………………12分
取平面
的法向量为
则
,
故平面
与平面
所成角的二面角(锐角)的余弦值为
. ……………14分
方法二、取
的中点
,
的中点
,连接
,
,
,∴
. ……………8分
,
∴
. ……………9分
同理可证:
. 又
,
∴
.…………10分
则
与平面
所成的二面角的平面角(锐角)就等于平面
与平面
所成的二面角的平面角(锐角)
已知
,
,
平面
∴
,∴
…………11分
又
,∴
平面
由于
平面
,∴
而
为
与平面
的交线,
又
底面
,
平面
为二面角
的平面角 …………12分
根据条件可得
,
在
中,
在
中,由余弦定理求得
…………13分
故平面
与平面
所成角的二面角(锐角)的余弦值为
. …………14分
解析
略
举一反三
在正方体
中,
分别是
的中点,给出以下四个结论:
①
; ②
//平面
; ③
与
相交; ④
与
异面
其中正确结论的序号是
▲
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在
中,点
在
边上,
,
,
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)求
的面积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知三棱柱
,底面
为正三角形,
平面
,
,
为
中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
..(本小题12分)如右图,直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)
,在底面
中,
,棱
,
分别为
的中点。
(1)求
的值; (2)求证:
题型:不详
难度:
|
查看答案
设m、n是两条不同的直线,
、
是两个不同的平面,给出下列四个命题.
①若
,则
∥
;
②若
,
,
,则
或
;
③若
,
,则
∥
;
④若
,则
.
其中正确命题的序号是
(把所有正确命题的序号都填上).
题型:不详
难度:
|
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