解法一:(Ⅰ)如图:在中,由分别是和边的中点,得, 又平面,平面. ∴平面. …………4分 (Ⅱ),∴是二面角的平面角,,得平面. 取的中点,连接,则, ∴平面,过作于点,连接,则根据三垂线定理知,∴就是二面角的平面角. 在中,,,∴,.………8分 (Ⅲ)在线段上存在点,使,证明如下: 在线段上取点,使,过作与点,连,则平面,,于是有,在中,,;又∵是正三角形,∴,∴.………13分 法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以点为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,. 显然平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则,即,令得,. ,所以二面角的余弦值为. (Ⅲ)设,由,得. 又,,,;将代入上式,得,,所以在线段上存在点,使. |