解:(1)因为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022073036-51523.gif) 平面ABC, 平面ABC,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022073036-51523.gif) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022073036-15300.gif) , 因为AB是圆O直径,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022073037-91059.gif) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022073036-15300.gif) ,又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022073037-82626.gif) ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022073037-91059.gif) 平面 , 而 平面 ,所以平面 平面 。……………4分 (2)(i)设圆柱的底面半径为 ,则AB= , 故三棱柱 的体积为 = , 又因为 , 所以 = ,当且仅当 时等号成立, 从而 ,而圆柱的体积 , 故 = 当且仅当 ,即 时等号成立, 所以 的最大值是 。……………8分 (ii)由(i)可知, 取最大值时, ,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系 (如图),则C(r,0,0),B(0,r,0), (0,r,2r), 因为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022073037-91059.gif) 平面 ,所以 是平面 的一个法向量, 设平面 的法向量 ,由 ,故 , 取 得平面 的一个法向量为 ,因为 , 所以 。……………12分 |