(本题满分14分)如图,α⊥β,α∩β=l, A∈α, B∈β,点A在直线l上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
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(本题满分14分)如图,α⊥β,α∩β=l, A∈α, B∈β,点A在直线l上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分14分)如图,α⊥β,α∩β=
l
,
A
∈α,
B
∈β,点
A
在直线
l
上的射影为
A
1
, 点
B
在
l
的射影为
B
1
,已知
AB
=2,
AA
1
=1,
BB
1
=, 求:
(Ⅰ) 直线
AB
分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角
A
1
-
AB
-
B
1
的余弦值.
答案
解法一: (Ⅰ)如图, 连接
A
1
B
,
AB
1
, ∵α⊥β, α∩β=
l ,AA
1
⊥
l
,
BB
1
⊥
l
,
∴
AA
1
⊥β,
BB
1
⊥α. 则∠
BAB
1
,∠
ABA
1
分别是
AB
与α和β所成的角.
Rt
△
BB
1
A
中,
BB
1
=,
AB
=2, ∴sin∠
BAB
1
== . ∴∠
BAB
1
=45°.
Rt
△
AA
1
B
中,
AA
1
=1,
AB
=2, sin∠
ABA
1
= = , ∴∠
ABA
1
= 30°.
故
AB
与平面α,β所成的角分别是45°,30°. ……………………………… 6分
(Ⅱ) ∵
BB
1
⊥α, ∴平面
ABB
1
⊥α.在平面α内过
A
1
作
A
1
E
⊥
AB
1
交
AB
1
于
E
,则
A
1
E
⊥平面
AB
1
B
.过
E
作
EF
⊥
AB
交
AB
于
F
,连接
A
1
F
,则由三垂线定理得
A
1
F
⊥
AB
, ∴∠
A
1
FE
就是所求二面角的平面角.
在
Rt
△
ABB
1
中,∠
BAB
1
=45°,∴
AB
1
=
B
1
B
=. ∴
Rt
△
AA
1
B
中,
A
1
B
== = . 由
AA
1
·
A
1
B
=
A
1
F
·
AB
得
A
1
F
== = ,
∴在
Rt
△
A
1
EF
中,sin∠
A
1
FE
== , ∴二面角
A
1
-
AB
-
B
1
的余弦值.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则
A
1
(0,0,0),
A
(0,0,1),
B
1
(0,1,0),
B
(,1,0).在
AB
上取一点
F
(
x
,
y
,z),则存在
t
∈
R
,使得=
t
, 即(
x
,
y
,z-1)=
t
(,1,-1), ∴点
F
的坐标为(
t
,
t
,1-
t
).要使⊥,须·=0, 即(
t
,
t
,1-
t
) ·(,1,-1)=0, 2
t
+
t
-(1-
t
)=0,解得
t
=, ∴点
F
的坐标为(,-,), ∴=(,,). 设
E
为
AB
1
的中点,则点
E
的坐标为(0,, ). ∴=(,-,).
又·=(,-,)·(,1,-1)= - -=0, ∴⊥, ∴∠
A
1
FE
为所求二面角的平面角.
又cos∠
A
1
FE
=" =" === ,
∴二面角
A
1
-
AB
-
B
1
的余弦值. ……………………………… 14
解析
略
举一反三
在正方形
中,
沿对角线
将正方形
折成一个直二面角
,则点
到直线
的距离为(
)
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题共12分)如图所示,
平面
,
平面
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:平面
平面
.
(Ⅲ)求凸多面体
的体积为
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本题满分12分 )如图,在等腰直角
中,
,
,
,
为垂足.沿
将
对折,连结
、
,使得
.
(1)对折后,在线段
上是否存在点
,使
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由;
(2)对折后,求二面角
的平面角的大小.
题型:不详
难度:
|
查看答案
.如图,在△
中,
是边
上的点,且
,
则
的值为( )A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在三棱柱
中,
是正方形
的中心,
,
平面
,且
(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角
的正弦值;
(Ⅲ)设
为棱
的中点,点
在平面
内,且
平面
,求线段
的长.
题型:不详
难度:
|
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