解法一:(Ⅰ)证明:取PA的中点N,连结BN、NM,在△PAD中,,且;又,且,所以MNBC,即四边形BCMN为平行四边形,.又平面PAB,平面PAB,故平面PAB. ……5分 (Ⅱ)在平面ABCD中,AB与CD不平行,延长AB、CD交于一点,设为E,连结PE,则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱,又由题设可知侧面PAB,于是过A作于F,连结DF,由三垂线定理可知AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角. ……8分 在△EAD中,由,,知B为AE为中点,∴AE=2,在Rt△PAE中,PA=1,AE=2,∴,故, 即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为 ……12分 解法二:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1). ……2分 (Ⅰ)由M为PD中点知M的坐标为(0,1,1),所以,又平面PAB的法向量可取为 ∴,即. 又平面PAB,所以平面PAB. ……6分 (Ⅱ)设平面PCD的法向量为 ∵,∴ 不妨取 则 ∴ 又平面PAB的法向量为 设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为, 则由的方向可知,,∴ 即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为 ……12分 (解法三:因为侧面PAB,侧面PAB,所以也可以考虑用射影面积来求解) |