证法一(Ⅰ):如图(1),取的中点M,连接AM,FM,
, ∴. , ∴,∴AM∥BE 又∵,, ∴. ∵CF="FD,DM=ME, " ∴MF∥CE, 又∵,, ∴, 又∵, ∴, ∵, ∴.-------5分 证法二:如图(2),取CE的中点N,连接FN,BN,
∵, ∴, ∵CF=FD,CN="NE, " ∴ ,, 又, ∴,, ∴, ∴AF∥BN, 又∵,, ∴.------5分 (Ⅱ)解法一:如图(3)过F作交AD于点P,作PG⊥BE,连接FG.
∵,, ∴ ∴∴FG⊥BE(三垂线定理). 所以,∠PGF就是二面角的平面角. 由,,知△是正三角形, 在Rt△DPF中,, ,∴PA=3, ∴, ∵, ∴ ∴在Rt△PGF中,由勾股定理,得, ∴,即二面角的余弦值为.----12分 解法二:以A为原点,分别以AC,AB为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系, 如图(4)所示,则A(0,0,0),B(0,0,2), ,,于是,有
,,, 设平面BEF的一个法向量为,则 令,可得, 设平面ABED的一个法向量为,则 ,可得, ∴ 所以,所求的二面角的余弦值为.------12分 |